This dissertation has been submitted by a student. This is not an example of the work written by our professional dissertation writers.

Voorwoord

In dit profielwerkstuk zullen er verschillende onderwerpen worden behandeld die met tijd te maken hebben. Het profielwerkstuk in enkele onderdelen verdeeld, en elk onderdeel houdt een specifiek onderwerp in.

Het eerste onderdeel is de speciale relativiteitstheorie van Einstein, waaronder ook het fenomeen van tweelingparadoxen wordt uitgelegd en het tweede onderdeel bestaat uit de geschiedenis van klokken en het maken van klokken.
We zullen proberen zo goed mogelijk de begrippen uit te leggen, en door middel van voorbeelden zal de stof zich verduidelijken. Vervolgens zijn de onderwerpen nader praktisch geëxperimenteerd tijdens de Masterclass ‘Tijd', die te volgen was aan de Vrije Universiteit in Amsterdam.

Motivatie

Heeft u misschien wat tijd?

Want wat is tijd? Dit is de centrale vraag van ons profielwerkstuk, tijd is namelijk maar een geheimzinnig fenomeen. Het begrip ‘tijd' is niet eenvoudig te definiëren. Vroeger werd de tijd gezien als oude man met een zandloper: Vadertje Tijd. Einstein omschreef het ooit als “dat wat de klok aangeeft”. Maar zo simpel is het niet. Dat blijkt ook uit zijn eigen relativiteitstheorie, want wat is tijd eigenlijk en hoe gedraagt het zich? Waarom gaat de tijd voor het gevoel soms sneller dan anders? En hoe weet je zo zeker dat er ook tijd verloopt als je slaapt? De tijd bestaat al zo lang als de wereld bestaat, of nog langer. Waarschijnlijk bestaat de tijd al eeuwig, maar wat is eeuwig? Eeuwig is ‘nu, en alle tijd ervoor en erna'. Zo kom je weer precies uit bij de vraag die we in het begin stelden. Wat is tijd?

Wij, Noortje Dannenberg, Iris Niesten en Wendy van Donge, vonden dat het tijd was om de Tijd maar eens te onderzoeken. Met het geluk aan onze zijde, was het mogelijk om de masterclass ‘Mysterie van tijd' op de VU te volgen. Hier konden we een deel van dit mysterie ontrafelen, en in de verdere loop van het profielwerkstuk zullen we nog dieper ingaan op bijvoorbeeld de relativiteitstheorie. Maar waarschijnlijk zullen we nooit het hele mysterie ontrafelen, want dat tijd heel wat meer is dan ‘dat wat de klok aangeeft', dát staat inmiddels wel vast.

Tijd in de samenleving

Met het woord tijd willen we een zekere gang van gebeurtenissen uitdrukken. Dit is dan wel in verhouding tot ons bewustzijn, dat het verschil kan waarnemen in de afstand tussen de gebeurtenissen. Tijd is dus een indruk, die enerzijds subjectief is en anderzijds toch ook objectieve elementen bevat.

De 23-jarige fransman Michel Siffre besloot in juli 1962 mee te werken aan een onderzoek naar tijd. Wat gebeurt er met een mens als alle tijdsaanduidingen ontbreken? Michel leefde twee maanden lang 130 meter onder de grond, geheel afgesloten van de buitenwereld. Met enkel een zaklamp, voldoende proviand en een slaapzak ligt hij dag en nacht in het donker. De zaklamp biedt soms enig licht maar de batterijen zijn al snel op. Siffre verliest al het besef van tijd. Er bestaan geen dag en nacht meer, geen uren of dagen; hij heeft geen enkele houvast. Via een veldtelefoon meldt hij wanneer hij opstaat en wanneer hij gaat slapen. Hij probeert via een dagboek dagen te tellen, wat zeer moeizaam gaat. Aan de andere kant van de veldtelefoon noteren ze zonder iets terug te zeggen de tijden wanneer Michel zich meldt. Michel is zich er misschien niet bewust van, maar toch leeft hij met regelmaat. Hij slaapt ca. 8 uur en is dan ongeveer 16 uur wakker. Blijkbaar hebben we ook een soort klok in ons zelf. Toen Siffre na twee maanden uit de gletsjerspleet werd gehaald reageerde hij heel verbaasd, volgens zijn dagboek waren er maar 25 dagen voorbij.

Zo heeft ook de Groningse hoogleraar Douwe Draaisma een experiment gedaan op dit gebied. Hij nam een metronoom mee naar de klas en terwijl het metronoom af ging liep Draaisma naar zijn leerlingen. Voor de leerlingen leek het tempo van de metronoom te versnellen naarmate hij dichterbij kwam. Het enige wat veranderde was echter het volume. Hoe harder het geluid, hoe meer prikkels de hersenen binnen krijgen, en hoe meer prikkels de hersenen te verwerken krijgen des te sneller de tijd lijkt te gaan. Dit werkt dus ook andersom. Als je weinig prikkels krijgt lijkt de tijd veel langzamer te gaan, maar het hangt niet alleen af van de hoeveelheid prikkels die je krijgt. Er zijn veel meer factoren die meespelen. Ook bijvoorbeeld emoties, temperatuur en alcohol zijn bepalende factoren. Zo lijkt een minuut die je op een hete kachel zit veel langer, dan een minuut op een normale stoel. Verander de situatie, de snelheid van de voorwerpen, wijzig de voorwaarden voor het waarnemen en de tijd zal niet meer hetzelfde lijken.

We hebben echter in ons leven een zekere vaste maatstaf van tijd, de klok. Deze toont ons de objectieve tijd aan. Dit is slechts een impressie van de bewegingen van de aarde rond de zon, maar we hebben deze objectieve elementen nodig om aan subjectieve tijdsimpressies te ontkomen. Toch is het beide meten van tijd, er wordt enkel een andere maatstaf gebruikt.

Tijd is ook de drager van causaliteit, het is de verbinding tussen oorzaak en gevolg. In het plaatje hiernaast zie je al wat er gaat gebeuren. Het enige wat er nog moet gebeuren voordat de ballonnen ontploffen, is de tijd laten verstrijken. Tijd lijkt onomkeerbaar; een kop hete thee koelt af, en wordt nooit vanzelf warmer. Dit kán wel andersom plaats vinden maar het lijkt onwaarschijnlijk. De tijd gaat voor de mens in vastgelegde richting.

Toch is het niet altijd even duidelijk hoe de tijd nou verloopt. Je ziet in de foto hieronder niet welke kant de trein op rijdt, misschien is de foto zelfs wel genomen toen die stil stond.

De fysische tijd bestaat uit een periodieke en regelmatige herhaling. Deze wordt bepaald met behulp van Astronomie, zoals bijvoorbeeld een jaar één rondje van de aarde om de zon is. Bij de fysische tijd wordt tijd gezien als een coördinaat waarmee een verandering kan worden vast gelegd, zoals lengte de plaats vastlegt.

Er wordt algemeen aangenomen dat bij de schepping van het heelal de tijd begon. Op dat moment ontstond er namelijk materie en ruimte. Dat moment wordt het tijdstip nul op de Kosmische klok genoemd. De Kosmische klok wordt gebaseerd op het principe dat het heelal aan het uitdijen is. Vanuit deze klok kan de evolutie worden gezien als een serie voorvallen, die achter elkaar plaats vinden tijdens de expansie van het heelal. Je leest op deze klok dus de expansietijd af. Bij radioactiviteit vervallen atomen. Hierbij wordt massa omgezet in energie. Van bepaalde elementen kan de hoeveelheid vervallende massa ( en dus energie ) gemeten worden. Hierdoor is er een mogelijkheid om tijd te meten (zie atoomklok). Dit noemen we Atomaire tijd. Om de Atomaire tijd en de Kosmische tijd gelijk te laten lopen moesten er enkele veronderstellingen gedaan worden. (zie blz. 8 )

Relativiteit.

Met de relativiteitstheorie kunnen in de natuurkunde twee theorieën worden bedoeld die door Einstein geformuleerd zijn: de Speciale Relativiteitstheorie en de Algemene Relativiteitstheorie. De postulaten die Einstein heeft gebruikt bij het vormen van de relativiteitstheorieën heeft hij echter niet geheel zelf bedacht. Hendrik Lorentz, kwam er achter dat de groote van een voorwerp beïnvloed wordt door de snelheid en de massa. Ook veronderstelde hij dat de lichtsnelheid de hoogst mogelijke snelheid is. Dit is dan ook de basis voor de speciale relativiteitstheorie. Ook Galileo Galilei, Gottfried Wilhelm Leibniz en Ernst Mach hadden al een begin gemaakt voor de relativiteitsprincipes. Einstein heeft hier jaren later, in 1905, een artikel over geschreven. “Zur Elektrodynamik Bewegter Körper”. Hierin bracht hij de theorie weer aan het licht en verbond hij allerlei conclusies aan de theorie. De kern van de speciale relativiteitstheorie is dat de wetten van de natuurkunde niet mogen afhangen van de snelheid die een waarnemer heeft ten opzichte van een andere waarnemer. Alles hangt af van het standpunt waaruit je iets bekijkt.

Voorbeeld 1.

Vanaf de mast van een boot laat iemand een bal vallen. De bal komt onder aan de mast terecht. Als je kijkt vanuit het oogpunt van de persoon die de bal laat vallen, maakt de bal een rechte lijn naar beneden, langs de mast. Maar vraag je dit aan iemand die aan de kant van de rivier staat, dan zal die zeggen dat de bal een kromme lijn volgt.

Een andere manier om de relativiteit te bekijken is door twee Minkowski diagrammen te tekenen. In deze grafieken teken je een gebeurtenis vanaf 2 verschillende standpunten.

De speciale relativiteitstheorie

In 1905 heeft Albert Einstein de speciale relativiteitstheorie theorie ontwikkeld. Bij deze theorie worden er twee niet bewezen stellingen als aanvaard beschouwd, namelijk:

1. De wetten van de natuurkunde zijn gelijk voor de waarnemers die eenparig ten opzichte van elkaar bewegen.

2. De lichtsnelheid in vacuüm is een universele constante, namelijk c = 299 792 458 m/s.

Ofwel, het is onmogelijk om met behulp van de mechanicawetten te bepalen wie er stilstaat en wie er beweegt. Een gevolg van het aannemen van deze twee stellingen is dat gelijktijdigheid relatief wordt.

Voorbeeld.

Een trein rijdt over een spoorbaan met de snelheid v.

De mensen die met de trein reizen, zullen de trein dan ook als vergelijkingsmaatstaf gebruiken.

De plaats waar gebeurtenissen plaats vinden, vergelijken ze met de plaats van de trein.

Bij punt A en punt B is er een blikseminslag. Ten opzichte van de spoorweg vinden deze gebeurtenissen gelijktijdig plaats. De lichtstralen die de bliksem uitzendt komen elkaar tegen in het midden van de spoorweg (M). De positie van de gebeurtenissen op plaats A en B ten opzichte van de spoorweg, zijn gelijk aan de positie ten opzichte van te trein. Wanneer je M' als middelpunt van A naar B neemt bij de rijdende trein, zijn de gebeurtenissen niet meer gelijktijdig. M' is op het tijdstip van de blikseminslagen wel op gelijke hoogte van M, maar de trein beweegt zich met een bepaalde snelheid v richting punt B. Hierdoor komt M' dichter bij B te liggen, en verder van A af. Het licht dat vanaf punt A komt, moet een langere afstand afleggen en het licht wat vanaf punt B een kortere afstand. Iemand in de trein zal het licht van punt B eerder zien dan het licht van punt A. Het lijkt voor de persoon in de trein alsof de inslag in punt B eerder plaatsvindt.

Uit deze theorie komt voort dat er Lorentzcontractie en tijddilatatie plaatsvindt.

Bij tijddilatatie lijkt het alsof de tijd van de bewegende waarnemer trager loopt, vanuit het gezichtspunt van de stilstaande waarnemer. Bij alledaagse snelheden is dit effect zeer klein. Het wordt pas merkbaar als de snelheid de lichtsnelheid nadert. Een voorwerp met een massa kan echter nooit met de lichtsnelheid bewegen. Op bladzijde 11 wordt behandeld dat dit oneindig veel energie zou vragen.

Voorbeeld.

In de atmosfeer kunnen er botsingen voorkomen tussen kosmische deeltjes, waardoor muonen gevormd worden. Deze muonen zijn zeer instabiel en vervallen bijna meteen. De halfwaardetijd van Muonen is 2,2 x 10-6 seconde. Ook al zouden ze dus met bijna de lichtsnelheid richting aarde komen, dan nog zouden ze niet lang genoeg bestaan om de aarde te bereiken. Toch kunnen muonen op aarde gemeten worden. Dit komt doordat de muonen zo snel bewegen dat de tijd voor hen langzamer gaat, ze kunnen dus lang genoeg leven om een grotere afstand te overbruggen dan men op basis van de halfwaardetijd zou verwachten. Oftewel, de seconde van de muon, die beweegt met een snelheid tegen de lichtsnelheid, verloopt voor een stilstaande waarnemen trager dan voor het bewegende muon. De genoemde halfwaardetijd is de tijd voor de stilstaande waarnemer.

Dit experiment werd uitgevoerd in 1941 door D. Hall en B. Rossi in de Verenigde Staten.

Lorentztransformatie

Dit is vernoemd naar de ontdekker, Hendrik Antoon Lorentz. De Lorentztransformatie vormt de basis voor de Speciale Relativiteitstheorie. Deze is geformuleerd om de tegenstrijdigheden tussen de theorieën van elektromagnetisme en de klassieke mechanica op te lossen.

De Lorentztransformatie wordt gebruikt om de Coördinaten van de Tijdruimte* van een coördinatenstelsel over te dragen op het ander coördinatenstelsel. De coördinatenstelsels moeten een snelheid ten opzichte van elkaar hebben in de x-richting. Er wordt wel van uit gegaan dat de oorsprongen van de twee coördinatenstelsels op elkaar moeten liggen. (0,0,0,0) in S moet gelijk zijn aan (0,0,0,0) in S'.

γ hierbij is de gammafactor ( bladzijde 11 )

Lorentzinvariantie

Sommige grootheden veranderen niet onder de Lorentztransformatie. Deze grootheden worden Lorentsinvarianten genoemd. Als we er vanuit gaan dat het ruimte-tijd interval een invariantie is voor alle waarnemers, kunnen we enkele formules opstellen. Met deze formules worden de tijdvertraging en de lengteverkorting exact verklaard. Ook als elke oplossing voor een bewegingsvergelijking gelijk blijft na de Lorentztransformatie, geldt dat de vergelijking een Lorentzinvariant is. Zo zijn alle essentiële vergelijkingen in de natuurkunde Lorentsinvarianten. Deze vergelijkingen worden gebruikt om vanuit elk willekeurig standpunt de natuurkunde te beschrijven.

Een eigenschap van tijdruimte die volgt uit de Lorentztransformatie is de Lorentzcontractie. Wanneer iemand een snelheid heeft die dichterbij de lichtsnelheid licht, lijkt de afgelegde weg korter dan voor iemand die stilstaat. Dit is dus ook het geval bij Muonen. Afstand die door bewegend deeltje of reiziger moeten worden afgelegd is voor reiziger een factor γ korter.

* Tijdruimte is een begrip dat 4 dimensies in een model beschrijft: de 3 dimensies Lengte (x), Breedte (y) en Hoogte (z), en de dimensie Tijd (t).

De gammafactor

Een belangrijk begrip bij het rekenen aan de Lorentzcontractie is de gammafactor. De gammafactor (g) is de factor waarmee jouw tijd (bij hoge snelheid) trager verloopt dan die van de mensen om je heen die niet meebewegen. Tevens neemt je massa bij hoge snelheid toe met deze factor. De gammafactor is als volgt te berekenen:

Hierbij is v de eigen snelheid en c is de constante lichtsnelheid.

Deze formule laat ook zien waarom het onmogelijk is om sneller dan het licht te reizen. Hoe groter jouw snelheid v wordt, des te kleiner wordt de gammafactor. De tijd loopt dus steeds trager. Wanneer je even snel reist als het licht, is het getal onder de breuk gelijk aan 0. g is dan dus oneindig, met andere woorden, jouw tijd staat dan stil. Als je nog iets sneller zou gaan, zou de tijd teruglopen, je reist dan dus terug in de tijd. Dit kan echter niet, omdat het getal onder de wortel dan negatief zou zijn. Dit getal bestaat niet als reëel getal.

Daarbij komt nog dat bij hoge snelheid ook je gewicht toeneemt met de gammafactor. Hoe zwaarder je bent, des te meer moeite kost het om te versnellen. E= g (m*c2 ) Omdat de gammafactor bijna oneindig is wanneer je de lichtsnelheid nadert, zul je oneindig zwaar worden en kost het oneindig veel energie om te versnellen. De lichtsnelheid is dus (nog) niet haalbaar. Om het verschil in tijd te berekenen deel je de tijd van de stilstaande waarnemer door de gammafactor. Als een astronaut dus 9 dagen in een raket zit met een snelheid van o,75c, waarbij de gammafactor ongeveer 1,5 is, lijkt het voor deze astronaut alsof de reis (9 / 1,5) 6 dagen heeft geduurd*.

In het dagelijks leven merk je trouwens niets van deze vertragingsfactor omdat die bij normale snelheden zo klein is. Als je rondfietst met een snelheid van 25 km/uur is de gammafactor ongeveer 1,000000000000000268. Dus als je je hele leven rondjes fietst met deze snelheid, loopt je horloge na tachtig jaar zo'n 0,000000068 seconden achter.

Je zou dus kunnen denken dat tijddilatatie een objectieve methode is om te bepalen wie de stilstaande waarnemer is, en wie de bewegende waarnemer. De waarnemer waarbij de klok het snelst loop, staat stil. Dit is echter niet zo. De relativiteitstheorie zegt juist dat alle snelheden (afgezien van de lichtsnelheid) relatief zijn. De ene waarnemer is ervan overtuigd dat de klok van de andere waarnemer langzamer loopt, terwijl de andere waarnemer juist van het omgekeerde overtuigd is.

Tweelingparadox

Toen Albert Einstein in 1905 zijn speciale relativiteitstheorie publiceerde waren er (natuurlijk) mensen die deze theorie bekritiseerden. Als bewijs van Einstein's ongelijk brachten zij de tweelingparadox naar voren die rechtstreeks tegen de speciale relativiteitstheorie in ging. Dit gedachte-experiment moest dus de speciale relativiteitstheorie ontkrachten. Dit is echter niet gelukt. Einstein heeft later zelf de tweelingparadox weerlegd en gezegd waar de denkfout zat.

De speciale relativiteitstheorie en de tweelingparadox

De tweeling paradox komt voort uit de Speciale relativiteitstheorie.

Bij de speciale relativiteitstheorie worden de bewegingswetten van Newton op hun eenvoudigst voorgesteld. Dit betekent dat voorwerpen waar geen kracht op werkt, altijd met een constante snelheid rechtdoor bewegen óf stilstaan. Er wordt geen rekening gehouden met bijvoorbeeld luchtweerstand. De aarde geldt niet als inertiaalstelsel omdat de aarde zelf niet stilstaat. Bij rekenen aan bewegingen op grote schaal heeft de draaiing van de aarde altijd invloed op de uitkomst. Dit alles volgt uit het feit dat op een inertiaalstelsel zelf ook geen krachten werken. Een stelsel staat dus stil of beweegt met constante snelheid.

De speciale relativiteitstheorie zegt het volgende: “Wanneer twee waarnemers in een coördinatenstelsel ten opzichte van elkaar een eenparige beweging uitvoeren, kan er niet worden vastgesteld wie beweegt en wie stilstaat.”

Met een eenparige beweging wordt constante snelheid bedoeld. Met een eenparige beweging wordt constante snelheid bedoeld. Let wel op dat het ten opzichte van elkaar is; het kan dus ook zo zijn dat één of beide waarnemers stilstaan.

Op dit principe berust de tweelingparadox. Bij de tweelingparadox is er sprake van een tweeling waarvan de één een verre ruimtereis gaat maken en de ander op aarde achterblijft.

Voor de ene helft van de tweeling die met grote snelheid beweegt zou de tijd langzamer moeten lopen. Deze persoon zou dus jonger moeten zijn wanneer ze elkaar weer tegen komen. Maar daar zit nou juist het probleem: volgens de speciale relativiteitstheorie kan je niet vaststellen wie van de tweeling beweegt, en wie stilstaat. Dus wie is er jonger aan het eind van de reis?

Aan de hand van een aantal grafieken zullen we laten zien waar de fout in dit gedachte-experiment zit, en wat de oplossing is van deze paradox.

Een zelfde soort grafiek als op bladzijde 8 kan worden gemaakt voor een reis naar de sterren met grote snelheid.

Hierin reist reiziger (R) vanaf de aarde (A) naar ster (S). S ligt op een afstand van 3 lichtjaar vanaf de aarde. R reist met een constante snelheid van 0,6c waarbij de gammafactor 1,25 is. De stippellijnen die loodrecht op elkaar staan en door de oorsprong gaan, geven de lichtsnelheid aan. R kan niet harder dan de lichtsnelheid en moet dus een lijn hebben die steiler loopt dan de lijn van de lichtsnelheid.

In Grafiek 3 is de reis weergegeven zoals de achterblijver op aarde die ziet. R reist met 0,6c en komt dus na 5 jaar aan op de ster ten opzichte van de persoon die op aarde blijft. Ook in dit model kun je rekenen met berichtjes, ervan uitgaand dat die met de lichtsnelheid reizen. Als iemand bijvoorbeeld van de ster een bericht naar de aarde stuurt, zal die pas na 3 jaar aankomen. Immers, de afstand is dan 3 lichtjaar. Het bericht dat R direct na aankomst naar de aarde stuurt komt dus volgens A (5+3) 8 jaar na vertrek aan.

Grafiek 4 gaat over dezelfde reis, maar nu weer met de reiziger als nulpunt. De ster beweegt volgens hem in 4 jaar naar hem toe, en de aarde beweegt in 4 jaar even ver bij hem vandaan. Omdat R met 0,6c reist, lijkt het voor R alsof de ster (4j x 0,6c) 2,4 lichtjaar ver is. Bovendien lijkt het voor R alsof hijzelf stil staat, en A met een snelheid van 0,6c bij hem vandaan beweegt. De gammafactor is nog steeds 1,25 en volgens R duurt het 4 jaar voor de ster bij hem is, en A op maximale afstand is. 4 jaar voor R duurde voor A dus (4/1,25) 3,2 jaar.

Aan het eind van de reis trekken A en R de volgende conclusies:

A: “Zowel de heen- als de terugreis van R duurde 4 jaar, terwijl er bij mij in totaal 10 jaar verstreek. R is dus 8 jaar ouder geworden en ik ben 10 jaar ouder geworden.”

R: “Inderdaad duurde zowel mijn heen- als mijn terugreis 4 jaar. Maar ik was niet degene die reisde, A bewoog juist van mij af en daarna weer naar mij toe. A is dus

(2 x 3,2) 6,4 jaar ouder geworden.”

De oplossing van de tweelingparadox

De denkfout zit in het punt waarop de reiziger omdraait. Zoals eerder gezegd, zegt de speciale relativiteitstheorie dit: “Wanneer twee waarnemers in één inertiaalstelsel ten opzichte van elkaar een eenparige beweging uitvoeren, kunnen zij niet vaststellen wie van beiden een beweging uitvoert en wie stilstaat.”

De speciale relativiteitstheorie gaat dus uit van één inertiaalstelsel, maar in de tweelingparadox is sprake van meerdere stelsels. Namelijk, wanneer de reiziger zich omdraait, komt hij in een ander stelsel terecht. Één van de voorwaarden voor een inertiaalstelsel was immers dat deze geen krachten ondervindt. Het stelsel kan dus niet versnellen, vertragen of omkeren, en gaat niet met de reiziger mee terug. De achterblijver blijft telkens in hetzelfde stelsel.

Het overgaan in een ander stelsel kan worden duidelijk gemaakt aan de hand van het volgende voorbeeld:

Als nulpunt nemen we nu iemand die op de heenweg met de reiziger meegaat, maar na de ster gewoon verder reist. Deze tweede reiziger kun je dus beschouwen als het stelsel waarin R het nulpunt is.

De tweede reiziger (dus het stelsel van R) kan niet omkeren bij de ster, omdat er op een inertiaalstelsel geen krachten werken. Bij de terugreis verandert dus het wereldbeeld van R: R bevindt zich op de terugreis in een ander stelsel dan op de heenreis.

Zo kun je het natuurlijk hetzelfde beredeneren voor A, maar feit is dat één van hen (ofwel A, ofwel R) in het zelfde stelsel blijft, en dat de ander halverwege overgaat in een ander stelsel. De twee zijn dus niet verwisselbaar.

De Klokken

Inleiding

Klokken bestaan al velen jaren en zijn door de mens gecreëerd om een beter beeld te krijgen van het verstrijken van de tijd. Door de jaren heen zijn klokken, ook wel uurwerken, steeds ingewikkelder geworden en worden ze vooral als instrumenten gebruikt om de objectieve tijd te meten.

Types op historische volgorde

Het eerste uurwerk dat al in de oude beschavingen werd gebruikt was de zonnewijzer (uitgevonden tussen 3000/4000 voor Chr). Ook werd al vroeg de waterklok ontwikkeld, die ook ‘s nachts werkten, wat zonnewijzers natuurlijk niet konden. In die tijd werd ook de zandloper ontwikkeld, en deze drie klokken met kaarsen of olielampen (met strepen erop) erbij, worden de elementaire klokken genoemd.

Het nadeel van elementaire klokken, afgezien van de zonnewijzers, was dat ze alleen de duur van het moment konden meten en niet op het tijdstip waarop een gebeurtenis plaatsvond.

Door de uitvinding van het echappement werd het mogelijk in de 12e eeuw om mechanische klokken te maken. Deze ontwikkeling gaf toen voor het eerst de mogelijkheid om de tijd met enige nauwkeurigheid te meten.

In begin de 16e eeuw werden voor het eerst draagbare klokken met veermechanismes gemaakt. Deze klokken kunnen worden gezien als de eerste horloges. In de 17e eeuw, in 1656, werd de slingerklok uitgevonden. Vervolgens vond er tussen 1660 en 1760 de horologische revolutie plaats. In deze periode ging de uurwerktechnologie met sprongen vooruit, en werden klokken en horloges beter en talrijker.

Op zee waren deze technieken niet bruikbaar, dus daarvoor werd in de 18e eeuw een ander mechanisme ontwikkeld: de onrust. Hiermee kon ook op zee de tijd nauwkeurig worden gemeten, en dit kwam dan ook de nauwkeurigheid van de navigatie ten goede (de zonnestand hangt samen met de tijd en de positie op zee).
Een nauwkeuriger mechanisme dan het slingeruurwerk en de onrust is het kwartskristal. Daar waar het slingeruurwerk en de onrust een onnauwkeurigheid van 1 minuut per week kunnen hebben, heeft het kwartskristal hoogstens een onnauwkeurigheid van 1 seconde per week.

Het nauwkeurigste uurwerk is echter de atoomklok. Deze zijn rechtstreeks op de definitie van de seconde gebaseerd. Verder is er nog de radiografische klok. Deze zet via radiosignalen zijn klok gelijk aan de atoomklok, die aan een zender verbonden is.

De individuele technieken

De Zonnewijzer

Dit instrument wijst de tijd aan met behulp van de zon. Door middel van de stijl (het uitsteekpunt) wordt er een schaduw op een vlak of schijf geworpen, waardoor je de tijd kan aflezen.

Werking

Doordat de aarde om haar as draait, veranderen schaduwen steeds van richting. Wijst de schaduw in het noordelijk halfrond naar het noorden, dan is het precies middag. De zon staat dan in het zuiden, precies boven de meridiaan. De lokale zonnetijd is dan 12 uur. Dat houdt in dat de zon 12 uur op een dag schijnt, en dus kun je op de schijf een indeling maken van uurlijnen die door de schaduw als het specifieke uur worden aangewezen.

Zonnetijd

Zonnewijzers geven gewoonlijk de ware plaatselijke tijd (zonnetijd) aan. Hier in Nederland loopt de officiële tijd voor of achter op de zonnetijd, dit is afwisselend de ene keer meer dan de andere. Daar zijn 3 oorzaken voor te noemen:

1. Onze officiële tijd is afgestemd op de zonnetijd van de 15e oostelijke lengtegraad, die ongeveer op de grens van Polen en Duitsland ligt. Per lengtegraad meer naar het westen, loopt de officiële tijd 4 minuten meer voor op de plaatselijke zonnetijd.

2. Er is een correctie nodig die tijdvereffening heet. Zij varieert van dag tot dag, in de lente en de zomer tussen +6 en -6 minuten, in de herfst en de winter tussen +14 en -16 minuten. (Zie: Tijdvereffening)

3. Met de zomertijd komt er nog een verschil van 60 minuten bij.

Tijdvereffening

De aarde draait niet alleen om haar eigen as, maar beweegt ook in een baan om de zon. De draaiingsas van de aarde staat scheef ten opzichte van die baan. Dit is de oorzaak van de wisseling der jaargetijden. Bovendien is die baan geen cirkel maar een ellips, en staat de zon niet in het centrum van die ellips, maar in een van de brandpunten.

Bij een elliptische baan gaat de tweede wet van Kepler op. Deze luidt: “De snelheid van een planeet in haar omloopbaan verandert zodanig dat in gelijke tijdsintervallen de oppervlakte, bestreken door de rechte lijn tussen de zon en de planeet, gelijk is.”

Hieruit kan worden opgemaakt dat de baansnelheid niet constant is.

Omstreeks 3 januari staat de aarde het dichtst bij de zon, en rond 5 juli staat ze er het verst vandaan. Dat heeft tot gevolg dat de aarde tussen 5 juli en 3 januari als ware “naar de zon toe valt” waardoor de snelheid van de aarde enigszins toeneemt. In de tweede helft van het jaar betekent dit dat de afstand tussen aarde en zon kleiner wordt, en de snelheid van de aarde weer afneemt. Het komt door deze snelheidsverandering en de scheefheid van de as ten opzichte van de baan, dat de zon in een jaar niet altijd met de zelfde baansnelheid langs de hemel gaat.

Om toch met de zonnetijd te kunnen werken heeft men een denkbeeldige zon aangenomen, die het hele jaar gelijkmatig door de hemel gaat. Deze zon wordt de middelbare zon genoemd, en de tijd die door deze zon wordt aangewezen noemt men de middelbare tijd. Het verschil tussen deze middelbare tijd en de echte tijd heet de tijdvereffening. Een ander woord hiervoor is equatie.

Constructie

Om een zonnewijzer te maken die de kloktijd aanwijst zul je de drie punten moeten verrekenen in de constructie. Door de zonnewijzer te verdelen in 2 delen, één deel voor de lente en de zomer, en één deel voor de herfst en de winter (nevenstaande afbeelding), zou dat al een deel vergemakkelijken. Maar alsnog kan er een door deze verrekening een ingewikkeld lijnenpatroon ontstaan waar alleen een geoefende zich een weg in kan banen. Doordat tijdens de seizoenen de stand van de zon hoger of lager kan staan, zijn de schaduwen afhankelijk hiervan ook langer of korter. Hiervan kan men gebruik maken om op een zonnewijzer de datum weer te geven.

Er is een wetenschap die zich hiermee bezighoudt, maar ook zonnewijzers bestudeert aan de hand van wetenschappelijk, astronomisch en artistiek oogpunt.

Deze tak van de wetenschap wordt Gnomonica genoemd.

Type Zonnewijzers

Er bestaan verschillende typen zonnewijzers. De meest gebruikte is die met de poolstijl. Deze stijl geeft het hele jaar door de juiste tijd, en moet daarvoor evenwijdig aan de aardas staan. Zijn naam ontleent hij aan het feit dat een stijl, die evenwijdig aan de aardas staat, naar de hemelpool en dus naar de Poolster wijst. Dat is de reden dat alle zonnewijzers met zo'n stijl Poolstijlzonnewijzers worden genoemd.

De hoek van de aardas op een plek A op de aarde kan je berekenen door vanuit het middelpunt van de aarde naar A een lijn te zetten. Het middelpunt is het kruispunt tussen de evenaar en de aardas. Deze lijn heeft een bepaalde hoek met de evenaar. Doordat je op A loodrecht op die lijn staat, komt de stijl in diezelfde hoek te staan.

Deze hoek hier in Nederland is 52°. Dit is een wel gemiddelde, want in Groningen is dat 53° en in Maastricht 51°.

Vlakke equatoriale zonnewijzer

De vlakke equatoriale zonnewijzer is een zonnewijzer, waarbij er een vlak loodrecht op de stijl staat. Deze naam komt van het feit dat de zon op 23 september en 21 maart precies in het oosten opkomt en in het westen ondergaat. Dat betekent dat de dag en nacht dan even lang zijn. De baan die de zon dan volgt noemt men de equator, of ook wel in het oud-Hollands: de evennachtslijn. De baan staat precies rechthoekig op de aardas. en dus ook op de stijl van de zonnewijzer.

Sferische equatoriale zonnewijzer

De vlakke equatoriale zonnewijzer heeft hierdoor wel een probleem. In de periode van 24 september tot 21 maart schijnt de zon tegen de onderkant van het vlak. Om ook in deze maanden met een zonnewijzer de tijd te kunnen weergeven, heeft men de sferische equatoriale zonnewijzer bedacht. Het verschil met de vlakke equatoriale zonnewijzer is dat de uurlijnen op een ring zijn gezet. Ook deze ring staat loodrecht op de stijl. Dit model zonnewijzer kom je vaak tegen als tuinversiering, en wordt dan ook wel de hoepelsfeer genoemd.

De sferische equatoriale zonnewijzer heeft alleen het probleem dat op 21 maart en 23 september de uurring in zijn eigen schaduw komt te staan. Dit kan je voorkomen door de zuidelijke helft van de ring weg te laten (nevenstaande afbeelding). Het nadeel hiervan is dat je de tijd tussen 6 uur ‘s avonds en 6 uur 's morgens niet meer kan weergeven. Daarom komt het ook vaak voor dat er alleen een gleuf in de zuidelijke helft van de ring wordt aangebracht.

Horizontale en verticale zonnewijzer
Een horizontale zonnewijzer heeft een horizontaal vlak en een verticale zonnewijzer een verticaal vlak. Bij de verticale zonnewijzer staat de 12-uurlijn meestal loodrecht omhoog. Richt je het vlak precies naar het zuiden, dan staan de uurlijnen op het vlak symmetrisch. De verticale zonnewijzers worden veel aan de muren van huizen bevestigd. Vaak kom is het dan wel een probleem dat de muur niet naar het zuiden wijst. Daarom zijn de uurlijnen op verticale zonnewijzers vaak asymmetrisch. Wijst de zonnewijzer precies naar het westen of het oosten, dan is er geen 12-uurlijn en lopen de uurlijnen parallel aan elkaar.

Verder kan je nog het aantal uren dat de zonnewijzer aangeeft veranderen. Zo zijn er de Babylonische uren. Deze geven het aantal uren aan dat verstreken is sinds de zonsopgang. De Italiaanse uren geven het aantal versteken uren na zonsondergang en de co-Italiaanse uren geven de uren als je de Italiaanse uren aftrekt van 24 uur. Deze geven dus nog de uren aan voor zonsondergang. Dit werd vroeger veel gebruikt toen men nog van zonsopgang tot zonsondergang werkte.

Babylonische zonnewijzer Co-italiaanse zonnewijzer

De waterklok

De waterklok meet de tijd met behulp van stromend water. De uitvinding van de waterklok was een grote vooruitgang voor de mensen. Daarvoor kon de tijd namelijk alleen worden bepaald aan de hand van zonnewijzers, en deze klokken werkten niet als er geen zon was.

Een van de oudste waterklokken is gevonden in de graftombe van de Egyptische Farao Amenhotep I, die was begraven rond 1500 v. Christus. Ook de Grieken maakten gebruik van waterklokken, rond 325 v. C, maar deze klokken werden de clepsydras (waterdieven) genoemd. Een ander woord tegenwoordig voor wateruurwerk is klepshydra, wat dus is afgeleid van het oude Griekse woord.

Werking

In het algemeen bestaat deze klok uit een reservoir, waarin door toevoer of afvoer de verandering van de waterspiegel op schaal wordt gemeten.

In de nevenstaande afbeelding wordt de werking van een waterklok afgebeeld.

De aandrijving van de klok was een reservoir dat verbonden was aan een vlotterkamer, gescheiden door een conische afsluitklep. Hierdoor werd het waterpeil constant gehouden, wat weer tot gevolg dat er ongeveer een constante druk heerste in het water.
Vanuit de vlotterkamer stroomde water naar een volgend reservoir. In dit reservoir ligt een drijver (vlotter) op het wateroppervlak, die vastzit is aan een touw. Dit touw loopt over een as heen en is aan de andere kant weer verbonden aan een gewicht.
Het stijgen van het waterniveau in het laatste reservoir zorgt voor een draaiing in de as, dat weer verbonden is aan het uurwerk. Het uurwerk gaf dan het uur aan.

De zandloper

De zandloper wordt door velen geassocieerd met tijd en komt vaak voor in afbeeldingen die te maken hebben met de tijdelijkheid van het leven. Men gebruikte in de vrijmetselarij de zandloper als zodanig symbool en ook de dood wordt vaak afgebeeld met een zandloper in de hand. Zo waren er ook bekende mythologische figuren, bijvoorbeeld Vadertje Tijd en Magere Hein, die de zandloper als attribuut werden toegedicht.

Werking

Een zandloper bestaat uit twee glazen reservoirs, die via een smalle verbinding verbonden zijn. Binnenin de reservoirs zit heel fijn zand, gemalen eierschalen of gemalen marmer. Door de zwaartekracht valt het zand door het smalle kanaal van boven naar beneden. Als alle zand is gevallen, dan is er een bepaalde tijd bestreken. Draai je de zandloper om, dan begint het proces opnieuw.

Het Slingeruurwerk

Vanaf de 12e eeuw werden er steeds meer varianten van uurwerken gemaakt en zo kwam er ook het slingeruurwerk. De eerste die de slinger gebruikte voor tijdmeting was Galilei. Hij ontdekte dat de slingertijd even groot bleef als de slingerlengte gelijk was. Zo maakte hij het pulsilogium, waarmee je met een slinger en een schaalverdeling de pols kon meten. Met een duim kon op de schaalverdeling de slinger korter worden gemaakt, zodat die gelijk liep met de polsslag. Op die manier kon de pols worden afgelezen worden afgelezen van de schaal.

Het slingeruurwerk bleef alleen niet constant lopen en was dus niet ideaal als nauwkeurig uurwerk. Het was de Nederlander Christiaan Huygens die erin geslaagd is een gelijklopend slingeruurwerk te maken. Dit deed hij door een mathematische correctie toe te passen en hier kreeg hij in 1656 patent op. In zijn werk “Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum” (1673), beschreef hij de theorie van de beweging van de pendule (slinger). Als eerste vond hij de formule voor de periode van een mathematische slinger. Deze slinger is dan een massaloze staaf en kabel. Tegenwoordig wordt de formule als volgt genoteerd:

Werking

Het slingeruurwerk wordt gereguleerd door een heen en weer bewegende slinger. Zolang de uitwendige krachten die op de slinger werken kleiner zijn dan de zwaartekracht, zal de slingertijd praktisch constant blijven. Huygens heeft dit voor elkaar gekregen door de slinger bovenin een beetje buigbaar te maken, en de slingerlengte te veranderen met de mathematische correctie. Dit zijn twee gebogen plaatjes langs de bovenkant van de slinger die de slinger bij grote uitwijking wat meer naar midden buigen. Met de goede stand van de plaatjes zal de slinger constant blijven slingeren.

De oudste slingeruurwerken werden aangedreven door middel van gewichten, die om een bepaalde tijd weer omhoog moesten worden getrokken. Deze gewichten zorgen ervoor dat de slinger steeds een zetje krijgt waardoor er wordt voorkomen dat de slinger al na een paar minuten uitgeslingerd is.
De slinger werd later verbeterd zodat de slingerlengte temperatuuronafhankelijk werd. Er werd een regulatortype gebruikt. Door het uitzetten van verschillende stoffen bij een veranderende omgevingstemperatuur bleef hierbij de slingerlengte constant.

Het Horloge

De Duitser Peter Henlein (1479/1480) uit Neurenberg ontwierp tussen 1504 en 1508 draagbare klokken met een veermechanisme. Het is niet duidelijk of hij dit mechanisme ook daadwerkelijk zelf heeft uitgevonden. Deze klokken kunnen worden gezien als de eerste horloges. Ze werden gedragen aan de riem of aan een ketting en waren ovaal van vorm. Deze klokken hadden alleen een urenwijzer, want ze waren nog niet nauwkeurig genoeg voor een minutenwijzer.

Voordat horloges konden worden gebruikt als een betrouwbaar hulpmiddel bij het navigeren, moesten ze veel nauwkeuriger worden gemaakt. Rond het jaar 1675 kwamen Hooke (Engeland) en Huygens afzonderlijk op een ongeveer gelijk idee voor het horloge. Zij ontwierpen een constructie waarbij de veer een balanswiel heen en weer liet draaien. Hierdoor ontstond eenzelfde soort heen en weer gaande beweging als bij een slinger ontstaat. Het duurde echter 100 jaar voordat dit principe algemeen werd toegepast. Zo was er bijvoorbeeld Julien Le Roy, die 100 jaar later dezelfde ontdekking deed, zich er niet van bewust dat deze uitvinding al 100 jaar oud was.

Aan het einde van de 19e eeuw vond Patek Phillipe het polshorloge uit. Deze horloges werden voornamelijk gezien als vrouwensieraad. Begin de 20e eeuw ontwierp Louis Cartier voor de mannen een horloge met een lerenband die erg makkelijk was in gebruik. In de Eerste Wereldoorlog kwam men er achter dat het gebruik van een polshorloge veel gemakkelijker was dan het gebruik van een zakhorloge. Na de oorlog mochten de Europese en Amerikaanse officieren hun horloges houden, wat een grote bijdrage deed aan de populariteit van polshorloges.

De horloges gemaakt in 1800 wijken nauwelijks af van de mechanische horloges die anno 2010 wordt gemaakt. De eerste grote verandering vond plaats in het midden van de 20e eeuw. In 1957 werd er voor het eerst een elektronisch horloge gemaakt. Dit uurwerk wordt aangedreven door een batterij in plaats van een veer. In de jaren ‘60 werden de eerste kwartshorloges geproduceerd, en in de jaren ‘70 kwamen de eerste digitale horloges op de markt. Deze toonden de tijd met cijfers in plaats van met wijzers.

De onrust

In de 15e eeuw werd de behoefte aan nauwkeurige navigatie op zee steeds groter. Hierbij was het nauwkeurig kunnen meten van de tijd noodzakelijk, want daarmee konden zeelui de lengtegraad uitrekenen. De aarde is per 15º-meridiaan in tijdzones verdeeld. Als je de tijd in een bepaalde tijdzone weet, kan je het aantal lengtegraden berekenen dat je van deze meridiaan verwijderd bent door deze standaardtijd te vergelijken met de plaatselijke tijd ( Die bepaald kan worden door middel van de zon). Per graad komt er namelijk 4 minuten bij (zie zonnewijzer). Door het verschil met de plaatselijke tijd te delen door 4 minuten, bereken je dus de afstand vanaf de betreffende meridiaan. Staat een klok bijvoorbeeld 1 minuut voor, dan bereken je dat je 2 º van de meridiaan vandaan bent. Bij de tropen is dat al een afwijking van 28 kilometer. Dat is de reden dat een nauwkeurige klok van groot belang was voor de navigatie. Een nauwkeurig uurwerk was dan ook een belangrijk navigatie-instrument, dat bovendien niet gevoelig mocht zijn voor de schommelingen van het schip. De breedtegraden waren daarentegen makkelijk te bepalen door de stand van de sterrenhemel.

Na de uitvinding van het slingeruurwerk ging Christiaan Huygens op zoek naar een klok voor op zee die ook precies de tijd aan gaf. Het gebruik van de slinger was uitgesloten want het schommelen van een schip stuurt het normale zwaaien van de slinger in de war. De oplossing die Huygens voor dit probleem ontwierp was het vervangen van de slinger door een spiraalvormige veer, die de heen-en-weergaande beweging van de balans regelt. De balans neemt de rol van het slingergewicht over en de spiraalveer zorgt ervoor dat de trillingen gelijkmatig verlopen.

Hiermee waren de problemen voor de marine niet opgelost. Het horloge dat Huygens ontwierp uit zijn idee de slinger te vervangen door een veer, was niet nauwkeurig genoeg om een precieze plaatsbepaling mogelijk te maken. Omdat dit toch erg belangrijk was, loofde het Engelse parlement een prijs uit van 20.000 pond voor de klokkenmaker die een nauwkeurig genoeg uurwerk kon maken. In 1762 werd deze prijs gewonnen door de Engelsman John Harrison. Het was 100 jaar na de uitvinding van Huygens' slingeruurwerk dat Harrison een klok uitvond die bestendig was tegen bewegingen, temperatuurverschillen en vochtigheid.

Werking

De onrust is een deel van een uurwerk dat bestaat uit een uitgebalanceerd wieltje. Dit wieltje is gekoppeld aan een spiraalveer die zeer nauwkeurig heen en weer draait met een bepaalde resonantiefrequentie. Een uiteinde van de spiraalveer is via een stelschroef aan de basis (chassis) verbonden. Met die schroef kan de rustpositie van de onrust worden ingesteld. De andere kant van de veer is met een wieltje verbonden. Er bevindt zich ook een anker dat om een asje draait. Het anker is verbonden met een ankerrad en die geeft de onrust telkens een klein zetje. Het middelste deel, dat ook om de as draait, heeft een pennetje dat in een vork van het anker valt. Dus telkens als het stiftje door de vork heen draait, wordt de positie van het anker veranderd en komt de ankerrad een half tandje verder. Daarbij ligt een van beide palletten tegen een tand van het ankerrad. Via een raderwerk is het ankerrad verbonden met een spiraalveer, of een gewicht dat nodig is om de beweging gaande te houden. Ook drijft het raderwerk de wijzers van het uurwerk aan. Op die manier blijft de onrust bewegen.

Het tikken van een uurwerk met een onrust wordt veroorzaakt door het slaan van de tanden van het ankerrad tegen het anker en van de stift van de onrust regen de vork van het anker.

Het Kwartskristal

De chemische naam van kwartskristal is siliciumdioxide. Deze is in staat een constante frequentie te produceren. De frequentie hangt af van de vorm en grootte van het kristal en waar de elektroden zijn geplaatst. Een kristal krijgt dus een specifieke trilling als deze op een speciale manier is geslepen.

Frequentie

De frequentie ontstaat doordat het kristal door een elektrische spanning kan uitzetten. Als deze weer terug vormt geeft het kristal weer een spanning af. Het kristal kan je dus in een stroomkring zetten, omdat er de spanning ook via de kristal kan gaan. Het vervormen van het kristal zorgt voor een trilling en dus voor de frequentie. Dit heet het Piëzo-elektrisch. Deze naam komt van het Griekse woord piezein, wat drukken betekent.

Verwerking frequentie In horloges en klokken worden er meestal kwartskristallen gebruikt die een frequentie hebben van 32.768 Hz. Deze frequentie is genomen omdat dit ideaal is voor een 15 bits AD-omzetter. Zo'n omzetter werkt namelijk met tweemachten, omdat een computer maar 2 signalen kent; 0 ( laag) en 1 (hoog). Dit heet het binaire stelstel en hiermee kan een binaire code worden berekend.

De tweemachten zijn:

32768 16384 8192 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Een 15 bits omzetter wordt een continu signaal in 2­­­­­­­15 = 32 768 stappen verdeeld. Aangezien dit gelijk is aan de frequentie zijn er dus 32768 stappen nodig voor 1 seconde. Je hoeft hierdoor dus niet te rekenen, want dan hoef je de schakeling alleen zo in te stellen dat als er een signaal door de 15e bit gaat, er een seconde bij wordt geteld.

De atoomklok

Een klok die de tijd meet doormiddel van een bepaald hoeveelheid energie wordt een atomaire klok genoemd. In de atoomklok worden de cesium atomen op hun plek gehouden door lasers. Dit is een klok die de trillingen van atomen gebruikt als basis voor zijn tijdmeting. De eerste atoomklok werd in 1955 ontwikkeld door de Britse natuurkundige Louis Essen van het National Physical Laboratory in Teddington, vlakbij Londen. De meeste atoomklokken zijn gebaseerd op het scheikundige element cesium; de seconde is dan ook gedefinieerd aan de hand van dit element.

Atomen en Cesium

Atomen hebben een gelijk aantal protonen en elektronen. De protronen zitten samen met neutronen in de kern en de elektronen zweven in cirkels om de kern heen. Deze elektronen zitten niet allemaal even dicht bij de kern, maar zijn verdeelt over schillen. Zo zitten er in de eerste (het dichtst bij de kern) schil maar twee elektronen en in de tweede schil 8. Het verschilt per stof hoeveel elektronen er zijn. De elektronen beginnen altijd bij schil 1 en gaan verder in de buitenste schillen als er meer elektronen zijn. Een elektron kan van de laagste schil die in gebruik is, ook naar een hogere schil worden gebracht door een specifieke hoeveelheid energie op te nemen. Als deze elektron weer terug valt naar een lagere schil komt er weer een specifieke hoeveelheid energie vrij.

Het Cesiumatoom heeft in zijn buitenste schil 1 elektron. In zijn baan om de kern heeft dit elektron een bepaalde frequentie. Deze frequentie ontstaat doordat het elektron, net als de aarde, om zijn as heen draait. Dit wordt spin genoemd. Deze spin kan met de richting van de baan mee of tegen de richting in. Door energieoverdracht kan deze richting wisselen. De energie die hiervoor nodig is, staat zeer nauwkeurig vast. Vooral als het atoom koud is, is er een precies aantal Joule nodig. Door de energieoverdracht ontstaat een trilling en daarbij een constante frequentie van trillingen per seconde. De definitie van de seconde is op deze frequentie gebaseerd.

Trillingen meten

Om deze frequentie te gebruiken voor tijdmeting zal het periodiek moeten worden opgemeten. Dit wordt gedaan door radiogolven die zijn opgewekt door een kwartoscillator. Deze radiogolven worden door de cesium atomen geleid. Zij zullen dezelfde frequentie aan nemen volgens de volgende formule: h×f = E.

Deze h is de constante van Planck: 6,62607 ×10-34. Uit deze formule kan je opmaken dat er voor dezelfde frequentie een precieze hoeveelheid energie nodig is, namelijk:

6,62607×10-34 × 9192631770 = 6,0911 ×10-24 Joule.

Wil je dus de radiogolven de zelfde frequentie geven, dan moet je ongeveer zoveel Joule toevoegen. Dit is niet nauwkeurig omdat de benodigde energie zo bepaald is, dat zelfs bij het kleinste verschil er geen energieoverdracht plaats vindt. Dit probleem wordt opgelost door de radiogolven door de cesiumatomen te leiden. Met een detector kan je de trillingen meten en als de frequentie geheel gelijk is (resonantie), zal er demping op treden in de detector. Voor deze demping moeten de trillingen elkaar wel tegenwerken, dus zullen de trillingen van de radiogolven een halve trilling moeten achterlopen op die van de cesiumatomen.

Met de kwartsoscillator is het mogelijk de frequentie van de radiogolven te veranderen door het piëzo-elektrisch effect. Als er een spanning door het kristal wordt geleid, wordt er een andere frequentie geproduceerd. Door de demping kan er precies worden vastgesteld hoeveel spanning er nodig is voor 1 seconde.

Werking Atoomklok

nistf1-comp

In de atoomklok worden de cesiumatomen op hun plek gehouden door lasers. Deze lasers maken tevens de atomen kouder zodat de energieoverdracht nog nauwkeuriger bepaald is.
Vervolgens worden de atomen naar boven getransporteerd door er een laser onder te zetten. Boven aangekomen, is er een laser die de atomen weer naar beneden transporteren.

De atomen gaan tijdens hun weg naar boven eerst langs magneten. Deze magneten zorgen ervoor dat de spin in alle atomen dezelfde kant op gericht is. Vervolgens gaan zij door een buis waar radiogolven uit komen. De frequentie van deze radiogolven worden gestuurd door een systeem dat gebaseerd op het aantal ontvangen signalen van de detector. Door dit systeem zal de detector uiteindelijk geen signalen meer binnen krijgen. De instelling die de buis dan op heeft staan, wordt dan gemodelleerd en kan worden gebruikt voor het tijd meten.

Het maken van klokken

Dit profielwerkstuk houdt zich niet alleen bezig met het ervaren van tijd, maar ook met het weergeven hiervan. Over het weergeven van de tijd door middel van klokken heb je al meer kunnen lezen. Uit deze verschillende soorten van deze klokken zijn er twee klokken uitgekozen om te maken. De eerste klok is een stemvorkklok, die het principe van de atoomklok nabootst. Deze is gemaakt tijdens het volgen van de masterclass ‘Tijd'. De tweede klok is een zonnewijzer voor op het schoolplein.

De Stemvorkklok
(zie ook bijlage)

Een stemvorkklok werkt volgens het principe van een atoomklok. Ook deze klok geeft de tijd aan aan de hand van een aantal gemeten trillingen. Waar de atoomklok echter de frequentie van een draaiend elektron meet, meet de stemvorkklok de frequentie van een geluid. Dit geluid ontstaat door een stemvork aan de slaan. Een stemvork geeft altijd één bepaalde toon, dus de frequentie van het geluid blijft hetzelfde.

De frequentie van het geluid werd gemeten door een geluidssensor die gekoppeld was aan een computer. Daarbij werd een nieuwe tijdseenheid afgesproken: de VUtel. Één VUtel was gelijk aan 1000 trillingen van de stemvork. Daaraan gekoppeld werd ook een nieuwe eenheid voor de frequentie gedefinieerd: de Mine. Één Mine was 1 trilling per VUtel.

Werking

Zodra de stemvork werd aangeslagen, werden de geluidstrillingen opgenomen door een geluidssensor. Deze sensor stuurde de meetgegevens naar een computer, waar de resultaten meteen in beeld kwamen als sinusgrafiek. De computer kon het aantal trillingen bepalen dat in de grafiek verscheen. Door dit aantal door 1000 te delen kreeg je de lengte van de tijd-as in VUtel.

Hoe meer trillingen er gemeten werden, des te nauwkeuriger werd de meting. (Dit geldt voor vrijwel alle soorten metingen.) Een stemvork dempt echter langzaam uit door energieverlies. Een oplossing hiervoor was het constant aandrijven van de stemvork. Dit werkt alleen als de aandrijving met dezelfde frequentie trilt, als de eigenfrequentie van de stemvork. Dit was mogelijk door eerst een frequentie voor de aandrijving te kiezen die die van de stemvork benaderde. Door de computer steeds preciezer in te stellen kon de resonantiefrequentie nauwkeurig worden bepaald.

Nu was het eigenlijk niet meer nodig om de trillingen van de stemvork te gebruiken, aangezien de aandrijving dezelfde frequentie had. De geluidssensor werd dus van de computer losgekoppeld, en in het vervolg werd de frequentie van de aandrijving gebruikt voor verdere metingen.

De Zonnewijzer

Naast de stemvorkklok is er ook een zonnewijzer gemaakt. Bij het maken van een zonnewijzer moet je rekening houden met een aantal dingen: Natuurlijk de constructie, maar ook de zonnetijd (met daarbij de tijdvereffening) en de stand van de zonnewijzer (en dus de uurlijnen).

De handigste zonnewijzer is een sferische equatoriale zonnewijzer omdat deze het zonlicht het beste opvangt.
De zonnewijzer zal aan de hand van de maand de goede, officiële tijd aanwijzen. Dit idee is gedeeltelijk gebaseerd op een Belgische zonnewijzer, die naast de goede tijd (op 30 seconde nauwkeurig) ook nog eens de datum weergeeft.

De stijl

De stijl van de zonnewijzer behoort evenwijdig te zijn aan de draaiingsas van de aarde. Hierdoor loopt de zon in principe om de stijl heen. Dat is omdat wij de zon langs de hemel zien gaan doordat de aarde draait. In Beverwijk is de hoek van de stijl met de aarde 52,49 °.

Ook moet de stijl naar het noorden wijzen. Dit kan met een kompas worden bepaald, maar het kompas heeft in onze omgeving van nature een afwijking van ongeveer 5 graden naar het westen. Er moet ook rekening worden gehouden met ijzeren voorwerpen die de stand van de kompasnaald beïnvloeden. De beste manier is echter om de zon zelf voor de bepaling te gebruiken.

Uurlijnen en Maandlijnen

De uurlijnen

Uurlijnen voor een algemene equatoriale zonnewijzer

Deze zonnewijzer wijst de plaatselijke zonnetijd aan.

Bij de indeling van deze uurlijnen op het cirkelvlak of ring moet je met het volgende rekening houden:

De aarde draait in 23,93 uur om haar eigen as. Deze significantie wordt gevormd door het feit dat de zon niet steeds met dezelfde snelheid rond draait. Samen met de stand van de aarde in haar baan om de zon is deze significantie berekend met de tijdvereffening.

Het cirkelvlak en de ring kunnen dus in 24 even grote vlakken worden verdeeld. Dit is het makkelijkst met het cirkelvlak. De cirkel is 360°, en dat gedeeld door 24° is 15° per vlak. Dat betekent dat de schaduwlijn per uur 15° is opgeschoven. Het nummeren van de uurlijnen doe je aan de hand van de stand van de zon. Als de zon op haar hoogste punt is (op de plaatselijke meridiaan) dan is het 12 uur in de middag. De stijl behoort dan wel met zijn bovenkant naar het noorden te wijzen, en met de schaduw van de stijl kan je de 12-uur lijn plaatsen.

Uurlijnen voor een aangepaste equatoriale zonnewijzer

Met deze zonnewijzer wil men in plaats van de plaatselijke zonnetijd de officiële tijd aanwijzen. Dat betekent dat naast de uurlijnen waartussen 15° zit, ook nog de tijdvereffening, de zomertijd, en de plaatselijke tijd worden meeberekend.

Tijdzone: Midden Europa (UTC+1)
Lengtegraad: UTC + 1: 15°
Lengtegraad Beverwijk: 4.65° van de middellijn.
Dat betekent dus dat de plaatselijke tijd voor Nederland is ingesteld op 10,35° hiervandaan. Per lengtegraad naar het westen komen er 4 minuten bij. Dat zijn dus (4x10,35) 41,4 minuten bij de plaatselijke zonnetijd.
15 ° /60 min = 0,25° / minuut

Dus 0,25 x 41,4 = 10,35 graden terug. Dat is logisch want dat is ook het verschil in de lentegraden tussen Beverwijk en de Tijdzone.
(zie Prototype 1 en 2)

Zomertijd

De zomertijd zijn 60 minuten bij de plaatselijke zonnetijd. Dat geld voor: eind maart tot en met oktober.
Data: 28 maart tot en met 31 oktober 2010
27 maart 30 oktober 2011
25 maart 28 oktober 2012
31 maart 27 oktober 2013

Tijdvereffening

De tijdvereffening in Nederland is periodiek en wordt weergeven in een grafiek.
In deze grafiek staat weergeven hoeveel minuten de plaatselijke tijd verschilt met de middelbare plaatselijke tijd. Het aantal minuten dat bij de zonnetijd moet worden uitgeteld is uitgezet in tabellen. (Tabellen 1) De data in deze tabellen zijn met sprongen van 10 dagen. Dat betekent dat het in de maanden door loopt en dus per tabel het aantal data per maand niet altijd gelijk is.

Tabellen 1 - Tijdvereffening

Als het aantal minuten positief is dan loopt de zonnetijd achter op de officiële tijd en zo is het andersom als de minuten negatief zijn. Omdat bij een positief aantal minuten de tijd achterloopt, moet de hoek die bij deze minuten hoort naar het westen worden gedraaid. Dit is dezelfde kant als de hoek van de Tijdzone en dus moeten deze hoeken bij elkaar worden opgeteld. Bij de negatieve minuten moet de hoek naar het oosten worden gedraaid en dus van de hoek van de Tijdzone af worden gehaald.

Tabellen 2 - Aantal graden dat naar het westen moet worden geschoven

Dit is dus het aantal graden dat verschoven moeten worden ten opzichte van de 12-uur lijn die bij de plaatselijke zonnetijd in het midden van de ring staat. Alle uurlijnen, per 15 °, verschuiven dus dat aantal graden op.

De maandlijnen

Declinatie

Declinatie betekent afwijking en geeft in de astronomie de boogafstand aan van een hemellichaam tot de hemelequator (middenlijn). Ten noorden van de equator wordt de declinatie positief weergeven en ten zuiden ervan negatief. De declinatie wordt in graden weergeven.

Bij zonnewijzers gaat het om de declinatie van de zon. Meestal is deze declinatie van primair belang en de tijdvereffening is een gevolg van deze declinatie. Met berekeningen van de declinatie kan men de maanden en de datum weergeven op de zonnewijzer.

Rood: Tijdvereffening

Blauw: Zon declinatie

De stijl van onze zonnewijzer moet de maand kunnen aanwijzen met de lengte van zijn schaduw zoals dat bij de Belgische zonnewijzer gebeurt. In tegenstelling tot uurlijnen staan de maandlijnen horizontaal. Voor deze maandlijnen moet er nauwkeurig worden berekend hoelang de schaduwen bij bepaalde maanden zijn. Hiervoor maak je gebruik van de declinatie.

Berekenen Lengte
Bij het berekenen van de lengte van de schaduw, moet je een standaardlengte van de stijl en een standaardbreedte van het vlak/ring tot de stijl nemen. Vanuit deze waarden kan je verder rekenen.

De zon maakt een bepaalde hoek met de equator en door de maanden heen verandert deze. De zon passeert tweemaal per jaar de equator, wat goed te zien is in de bovenstaande grafiek. In de zomer, als de zon de grootste positieve hoek heeft, kan je makkelijk berekenen wat de lengte van schaduw op de zonnewijzer wordt. De hoek die de zon maakt met de equator is namelijk ook de hoek met de loodrechte lijn op de ring. Dit is omdat de zon zo ver weg staat dat alle zonnestralen evenwijdig op de aarde vallen, en omdat de loodrechte lijn op de ring evenwijdig loopt met de equator.

Deze hoek is ook weer gelijk aan de hoek die de zonnestraal maakt met r (Z-hoeken). De schaduw valt op een bepaalde lengte van het vlak. De totale lengte van de schaduw is de LS + X. Loodrecht onder de stijl stopt de LS, dus deze kan je voor berekeningen wegdenken. Aangezien je de afstand van het vlak tot de stijl weet, kan je met behulp van de tangens lengte X uitrekenen.

De totale schaduwlengte van die maand kan dan dus worden gebruikt voor een maandlijn.

In de winter heeft de zon een negatieve declinatie, en dus een negatieve hoek. Omdat je werkt met een negatieve hoek, krijg je ook een negatieve x als uitkomst. Dat betekent dat de lengte van de schaduw ook korter wordt dan de standaardlengte. In nevenstaande afbeelding kan je dat ook goed zien. Deze tekening gemaakt, ervan uit gaande dat de zonnestralen evenwijdig lopen, dus klopt de beredenering van de negatieve hoek.

De hoek die de zon met de equator maakt is, net als in de zomer, gelijk aan de hoek tussen de zonnestraal met de loodrechte lijn op het vlak. De hoek van de zonnestraal en de lijn (r) zijn hier ook weer gelijk (Z-hoeken).

Met BS en de tangens kan weer de X worden berekend. De lengte van de schaduw wordt dan de standaardlengte min X. De lengte van de twee maal dat de aarde de equator passeert is de standaard lengte (LS). Als de zonnestraal namelijk loodrecht op het vlak valt, is deze hetzelfde als lijn (r).

Keerkringen

De keerkringen zijn twee denkbeeldige cirkels die om de aarde zijn getrokken. Deze keerkringen geven aan waar de zon zijn uiterste uiwijking van de equator heeft en danken hun naam aan het teken waarin de zon volgens astronomen dan staat.

De keerkring op het zuidelijk heet de Steenbokskeerkring en heeft een hoek van 23,439°. Op het noordelijk halfrond staat de Kreeftskeerkring, ook onder een hoek van 23,439°. De zon bereikt de Steenbokskeerkring op ongeveer 22 december en de Kreeftskeerkring op ongeveer 21 juni.

Cosinus declinatie

Uit de voorgaande stukken kan je berekenen wat de lengte X zal zijn voor de schaduw, en hoeveel graden de uiterste declinatie van de zon is.

De hoeken van de zon zijn uitgezet in een grafiek. De Blauwe lijn is de declinatie. In deze grafiek zie je dat de declinatie de vorm van een cosinus heeft. De Y-as geeft het aantal graden van de declinatie aan en de X-as de maanden. De toppen van de grafiek zijn op 21 juni en 22 december.

Door het opstellen van een goede functie die bij deze grafiek hoort, kan er worden berekend hoeveel de declinatie zal hebben op een bepaalde datum.

Functie:
De amplitude is -23,439°. Deze is negatief omdat de cosinus onderin de grafiek begint.
De periode van de grafiek is 365¼ dagen en de periode van de functie is dus 2π / 365¼. De evenwichtstand is op nul. Er is geen verschuiving, want er zal worden gerekend vanaf 22 december en niet vanaf 1 januari. Dus: Y = -23,439° cos (t ×2π/365¼) Met Y in graden en t in dagen.

Berekenen van de Hoeken van de Maandlijnen.

Met deze gevonden functie is het mogelijk om de hoeken te berekenen aan de begin van de maanden. Daarbij moet eerst het aantal dagen worden berekend voor een begin van een maand. Deze telling van het aantal dagen begint op 22 december en eindigt dus bij 21¼ december. We gaan namelijk uit van 365¼ dagen in een jaar, omdat er om de vier jaar een schrikkeljaar is toegevoegd.

Elke maand heeft een standaard aantal dagen (zonder schrikkeljaar). Van 22 december tot 31 december zijn 9 dagen. Januari begint dus op 10 dagen, en vanaf daar wordt er verder gerekend door de standaard dagen van de maanden erbij op te tellen.

Standaard aantal dagen: Aantaldagen voor in de functie

Januari: 31 Januari: 10
Februari: 28 Februari: 41
Maart: 31 Maart: 69
April: 30 April: 100
Mei: 31 Mei: 130
Juni: 30 Juni: 161
Juli: 31 Juli: 191
Augustus: 31 Augustus: 222
September: 30 September: 253
Oktober: 31 Oktober: 283
November: 30 November: 314
December: 31 December: 344

Door deze gegevens in de functie in te vullen komen er de volgende hoeken uit:

Januari: -23,093°
Februari: -17,847°
Maart: -8,777°
April: 3,490°
Mei: 14,473°
Juni: 21,836°
Juli: 23,196°
Augustus: 18,265°
September: 8,261°
Oktober: -3,639°
November: -14,905°
December: -21,890°

Prototype Ring

Met deze prototype worden alle maandlijnen en uurlijnen samengebracht.
Hier wordt er gebruikt:

Lengte karton: 47 cm
Breedte karton: 25 cm
Lengte stijl: 12,5 cm
Afstand stijl tot ring: 25 cm

Allereerst worden de maandlijnen op het karton gezet. Dit kan door middel van de berekende hoeken. Deze wordt in de tangens ingevuld en vermenigvuldigd met de afstand van de stijl tot de ring (r). In dit geval is dat 25 cm. Deze waarde is genomen omdat, als je een kleinere afstand neemt, de maandlijnen te dicht bij elkaar gaan staan. En andersom omdat anders de afstand hinderlijk te groot wordt.

Er zijn twee ringen, elk voor een half jaar, omdat bij het ene half jaar de schaduw van de stijl van boven naar beneden loopt, en het andere half jaar de schaduw van beneden naar boven gaat. De data die deze halfjaren afbakenen, zijn 22 december en 21 juni.

De lijn die hoort bij de lengte van de stijl, 12,5 cm (en de standaard lengte dus), is eveneens het midden van de ring. Vanuit deze middenlijn wordt de berekende X opgeteld of afgetrokken. De data 22 december en 21 juni hebben allebei dezelfde hoek, alleen is de een positief en de ander negatief. Dit zijn de hoeken die de maximale X zullen geven. De afstand dus van de middenlijn tot het punt van de schaduw is ook gelijk, en geven het begin en einde aan van het gebruik van de halfjaarplaten.

Halfjaar Januari tot en met juni

Maandlijnen
De hoeken van de maanden zijn:

22 december: -23,439°
Januari: -23,093°
Februari: -17,847°
Maart: -8,777°
April: 3,490°
Mei: 14,473°
Juni: 21,836°
21 juni: 23,439°

Met functie : 25 × tan (hoek), worden de volgende afstanden (X) berekend:

22 december: -10,84
Januari: -10,66
Februari: -8,05
Maart: -3,86
April: 1,52
Mei: 6,45
Juni: 10,02
21 juni: 10,84

Uurlijnen

Het aantal graden die de uurlijnen naar het westen moeten schuiven zijn al eerder berekend. Deze zijn per 10 dagen berekend. Deze graden kunnen nu in het aantal centimeters naar links worden berekend, omdat de afmetingen bekend zijn. Het aantal cm dat de uurlijnen naar links verschuiven is:
47 cm = 180° -» 1° = 47/180 cm (= 0,26111). Dus per graden komt er zoveel cm bij. De berekende aantal graden moet daarom vermenigvuldigd met dit getal.

Aantal graden en berekende aantal cm.

Januari Graden (°) Afstand (cm) Februari Graden (°) Afstand (cm)

1 10,9 2,84 10 13,9 3,63
11 12,2 3,19 20 13,9 3,63
21 13,1 3,42
31 13,7 3,58

Maart Graden (°) Afstand (cm) April Graden (°) Afstand (cm)

2 13,4 3,50 1 26,4 6,89
12 13,4 3,50 11 25,7 6,71
22 12,2 3,18 21 25,1 6,55

Mei Graden (°) Afstand (cm) Juni Graden (°) Afstand (cm)

1 24,7 6,45 10 25,1 6,55
11 24,4 6,37 20 25,7 6,71
21 24,4 6,37 30 26,3 6,87
31 24,7 6,45

Vanaf 28 maart komt de zomertijd hierbij. Dit is berekend bij de afstand. De afstand tussen de uren zelf blijft 15° en dus 15 × 47.180 = 3,91. En de 12 uur lijn begint standaard in het midden van het vlak: 47/2 = 23,5 cm.

Halfjaar Juni tot en met Januari

Maandlijnen

Hoeken van de maanden en afstanden (cm) vanuit de middenlijn:

21 juni: 23,439° 10,84
Juli 23,196° 10,71
Augustus: 18,265° 8,25
September: 8,261° 3,63
Oktober: -3,639° -1,59
November: -14,905° -6,65
December: -21,890° -10,04

Uurlijnen

Aantal graden en berekende aantal cm:

Juli Graden (°) Afstand (cm) Augustus Graden (°) Afstand

10 26,6 6,95 9 26,7 6,97
20 26,9 7,02 19 26,2 6,84
30 26,9 7,02` 29 25,6 6,68

September Graden (°) Afstand (cm) Oktober Graden (°) Afstand

8 24,9 6,50 8 22,2 5,80
18 23,9 6,24 18 21,6 5,64
28 23,0 6,01 28 21,4 5,59

November Graden (°) Afstand (cm) December Graden(°) Afstand

7 6,3 1,65 7 8,1 2,115
17 6,6 1,72 17 9,2 2,40
27 7,2 1,88 27 10,4 2,72

Bouw van de prototypes

Prototype 1

De uurlijnen

De vlakke equatoriale zonnewijzer
(30-01-2010)

Diameter van 20 cm
Stijl (potlood) 0,8 x 20 = 16 cm
24 vlakken, 15 graden
Stijl loodrecht op vlak, richting noorden (Kompas)

Dit is de eenvoudigste zonnewijzer. Makkelijk te maken met een stuk karton, een schaar en een potlood. Het karton wordt in een cirkel geknipt, en er worden uurlijnen op verdeeld. Deze zijn altijd 15° van elkaar verwijderd. Dan gebruik je het potlood en zorgt dat deze 0,8 maal de diameter van de cirkel is, zodat de hoek tussen het vlak en de aarde 52° wordt. Dan alleen nog de stijl naar het noorden laten wijzen, en de 12-uur lijn onderaan leggen en hij is af.

Met deze eenvoudige zonnewijzer wordt de berekening van de tijdzone getest. De zonnewijzer werd in de zon gezet om 12:15. Helaas is er geen rekening gehouden met het feit dat de zon in de periode van 23 september tot 21 maart tegen de achterkant van deze zonnewijzer schijnt en er dus geen schaduw van de stijl op het vlak valt. Om toch een schaduw te krijgen is het vlak wat meer horizontaal gehouden. Hierbij verschuift het schaduw op het vlak wat meer naar het westen waardoor je niet meer van nauwkeurigheid kan spreken.

Toch hebben we het getest. De schaduw viel op ongeveer 11 uur. Toen is het vlak 10,35 graden naar het westen gedraaid. De schaduw kwam ongeveer een kwart voor 12 uit. (41,4 minuten verder)
Daarbij komt ook nog de tijdvereffening en deze is op 31 januari 14, 5 minuten. Dus het totale verschil op 31 januari in minuten is 55,9 minuten. Hierbij kwamen we dus op 11:56.
De officiële tijd is 12:15, maar er werd onnauwkeurig gerekend door het vlak meer horizontaal te zetten.

Conclusie: De berekening zal wel ongeveer kloppen maar dit moet nog beter worden getest met een sferische equatoriale zonnewijzer, zodat de zon wel in de goede hoek op de ring valt.

Prototype 2

De uurlijnen

De sferische equatoriale zonnewijzer

(30-01-2010)

Diameter: 14,5 cm
Stijl evenwijdig hoek ring: 52 °
24 vlakken: hoeken tussen uurlijnen: 15°
Bovenkant richting Noorden

Dit is ook een redelijk makkelijk te maken zonnewijzer.
Neem een strook karton en plak de uiteinden aan elkaar zodat je een cirkel krijgt. Verdeel de uurlijnen, elk 15° van elkaar verwijderd. Vervolgens moet de ring evenwijdig aan de aardas worden gezet.
Dit kan door de ring op een basis te zetten die gelijk is aan die hoek. De stijl kan je maken door de basis te verlengen en vervolgens tweemaal een hoek van 90° te laten maken.

Deze sferische zonnewijzer is gemaakt omdat het vorige prototype niet nauwkeurig genoeg was voor deze maand. Met deze zonnewijzer kan zowel de berekening van de tijdzone als de tijdvereffening worden gecontroleerd. Dit is mogelijk omdat de ring, die rust op een kartonbasis die met de aarde een hoek heeft van 52°, is vast gezet met knijpers. Op die manier kan de ring geheel los worden gemaakt en naar de believen naar het westen of oosten op worden geschoven. De stijl is ook bevestigd aan de kartonbasis, en is door middel van een verstevigende vierkant in de ring bevestigd.

Bouwtekeningen Prototype 3 en Model

Bouwtekeningen in cm en graden:

Zijaanzicht

De kleine plaat Grote plaat

Zijstukken

Prototype 3

De sferische equatoriale zonnewijzer van karton.

We zijn gaan zitten en hebben een bouwtekeningetje gemaakt.

Omdat dit ons eerste prototype van het eindresultaat zou worden, besloten we het van papier te maken. Zo konden we zien wat voor problemen we tegen zouden komen bij het maken van de uiteindelijke zonnewijzer.

We moesten ervoor zorgen dat hij goed stevig stond en dat de 2 halve cirkels goed boven elkaar kwamen te staan. Door middel van driehoeken probeerden we het zo stevig mogelijk te maken. Toen we het eenmaal af hadden bleek dat de 2 cirkels niet recht boven te staan. Dit kwam door dat de stroken die waren opgeplakt, die dat probleem eigenlijk zouden moeten verhelpen, konden buigen en niet recht geplakt waren.

Prototype 4

Ontwerpen van het metalen model

Het probleem was dat prototype 3 niet buiten kon staan en niet helemaal klopte. De oplossing was om een metalen model te maken. Daarvoor kon de bouw va prototype 3 niet worden gebruikt omdat de kosten van al het te gebruiken metaal te hoog zou oplopen. Daarom is er een nieuwe constructie gemaakt.

Deze constructie lijkt wat meer op de Belgische zonnewijzer, die al eerder is genoemd.
Het plan is om de volgende constructie te bouwen:

De constructie zonnewijzer rust op een houten paal

Materialen Gehaald: 1 paal; 1,5 meter, vierkante hardhout

1 ondersteuning plaat; 1 meter, roestvrij staal; geperforeerd - 90 × 5 cm

Als ringen; een metalen ton met de juiste diameter - 34 × 46,7 cm. Diameter cirkel: 29,7

Stijl; Plaatje ijzer, 100 x 5 cm - afstand stijl-ring 7 cm, dus 10 cm. En lengte stijl 15 cm.

Conclusie

Bij het doorsnijden van de ton, kwamen we erachter dat de diameter veranderde. Ook bleek de constructie niet stabiel genoeg te zijn om aan de nauwkeurig berekende hoeken te voldoen.

Daardoor is er besloten om bij het oude model te blijven en deze aan te passen om buiten te kunnen staan.

Model

De sferische equatoriale zonnewijzer van hout.

Nadat het papiermodel niet geheel gelukt was hebben we de oorzaak van het probleem proberen optelossen. Doormiddel van een draadstaal en nauwkeurig meten zijn de tweeplanken nagenoeg recht boven elkaar gekomen. Door dat de zonnewijzer nu van hout is gemaakt zal er geen flexibiliteit meer zijn en dus minder onnauwkeurig zijn. De draadstaal is zo vast gezet dat in het midden de afstand tussen de planken, gelijk is aan de afstand tussen de planken aan de buitenkant. Aan de draadstaal is de stijl bevestigd waardoor je kunt aflezen welke maand het is en hoe laat het is. Op de stijl zit een dopje zodat er nauwkeuriger gemeten kan worden. De zonnewijzer staat precies onder een hoek van 38 graden. Zodat de tijdsaanduidende plaat er loodrecht op gemonteerd wordt, staat deze plaat onder een hoek van 52 graden, waardoor deze correspondeert met de hoek van de aarde.Het houten model is bespoten met een bepaald soort verf/lak zodat hij buiten kan komen te staan. Doormiddel van 8 schroefjes wordt de plaat onder spanning op zijn plek gehouden.De buitenste schroefjes zitten 2,5 cm van de rand af. De rest van schroefjes zijn om de 10,5 cm er in geboord.

Verslag en evaluatie van de masterclass Tijd, 27 november 2009

Op 27 november namen wij deel aan de masterclass ‘Het mysterie van tijd', waar een groot deel van ons PWS op gebaseerd is. Deze masterclass werd gegeven aan de VU in Amsterdam. Het was even zoeken naar het juiste gebouw, de juiste ingang, en het juiste lokaal, maar we arriveerden op tijd en konden zelfs nog even koffie drinken.

De masterclass begon met een presentatie van dhr. Kjeld Eikema, over Tijd in het dagelijks leven en Klokken. Er werd vooral dieper ingegaan op de werking van de atoomklok, wat een hoop duidelijk maakte.

Na deze presentatie werd de groep verdeeld in twee kleinere groepen voor de practica. Wij begonnen met een computersimulatie. Het doel van deze simulatie was het verduidelijken van relativiteit. Het onderwerp van deze simulatie was de “levensloop” van muonen, deeltjes die hoog in de stratosfeer ontstaan en dan zó snel weer uit elkaar vallen dat ze zelfs met de lichtsnelheid de aarde eigenlijk niet kunnen bereiken. Door de hoge snelheid van de deeltjes verloopt hun eigen tijd echter langzamer waardoor ze toch de aarde bereiken. Het onderwerp op zich was interessant, maar de simulatie iets minder. Het duurde vrij lang om te ontdekken hoe het programma werkte en eigenlijk leerden we niet veel nieuws over de relativiteit.

Na dit eerste “practicum” verzamelden we om te lunchen met... pizza. Tijdens de lunch hadden we nog een interessante discussie met dhr. Piet Mulders, die ons later over onder andere de tweelingparadox zou vertellen.

We gingen verder met het tweede practicum. Er was ons verteld dat we een atoomklok zouden gaan maken, maar het was een model van een atoomklok. In plaats van de trillingen van een atoom, was onze klok gebaseerd op de trillingen van een stemvork.

Met de geluidstrillingen van deze stemvork definieerden we een nieuwe tijdseenheid: de VUtel. Het principe was simpel, maar het bleek tamelijk moeilijk te zijn om het computerscherm duidelijk in te stellen en zo een nauwkeurige tijdseenheid te krijgen.

We vervolgden met nog een presentatie, van dhr. Piet Mulders over relativiteit en de tweelingparadox. In deze presentatie werden dingen verteld die we zelf al van tevoren uitgezocht hadden, maar ook de oplossing van de tweelingparadox werd duidelijk uitgelegd.

Als laatste deden we nog een quiz over tijd, wat vooral gezellig was.

We beëindigden deze dag met lekker uit eten in Amsterdam.

Evaluatie

Onze meningen over deze dag bleken nagenoeg hetzelfde te zijn. Alle drie vonden we de presentaties erg goed en duidelijk, maar de practica kwamen een beetje nutteloos over.

Voor de practica moest je vooral handig zijn met de computer en bij het maken van de stemvorkklok ging het er vooral om dat je nauwkeurig werkte en het scherm en de oscilloscoop goed kon instellen. Dit practicum hebben we dan ook binnen de tijd kunnen afronden, omdat we de juiste frequentie niet konden vinden. De computersimulatie was op zich wel goed, maar wij hebben er geen nieuwe dingen geleerd.

De presentaties vinden we wel erg goed. Er werd veel verduidelijkt en er was gelegenheid tot vragen stellen. Al met al hebben we zo toch veel aan deze dag gehad.

De opdrachten van de meeloopdag zijn bijgevoegd in een bijlage. Deze vindt u achterin het Pws

Nawoord

En daarmee zijn we alweer aan het eind van dit profielwerkstuk gekomen. Waarschijnlijk is het onmogelijk om op de hoofdvraag “Wat is Tijd?” een goed antwoord te geven, maar hopelijk zijn we erin geslaagd om u een beter beeld van dit (toch wel geheimzinnige) begrip te geven. Voor onszelf is het in elk geval wel gelukt. Er is flink wat tijd in dit werkstuk gaan zitten, maar het was het waard: we hadden zeker een interessant onderwerp uitgezocht, hoewel het wel een erg breed onderwerp was. We merkten dan ook al gauw dat we wel duidelijke grenzen moesten trekken, en vooral niet moesten proberen om álles over tijd te onderzoeken. Daar hadden we simpelweg geen tijd voor. Achteraf gezien hadden we misschien iets minder op de masterclass moeten focussen, hoewel de colleges wel veel hebben verduidelijkt, vooral over de atoomklok en de tweelingparadox.

Bij een onderzoeksvraag hoort natuurlijk een antwoord. “Wat is tijd?” Welnu, het beste antwoord is waarschijnlijk dat tijd zo moeilijk te definiëren is omdat tijd... relatief is. Dat is heel duidelijk gebleken uit de eerste helft van dit profielwerkstuk. In de tweede helft van het profielwerkstuk staat alles over het weergeven van tijd, van de Atoomklok tot de Zonnewijzer. Tenslotte hebben we zelf een zonnewijzer gebouwd. Het is toch altijd weer leuk om iets te ontwerpen en bij het bouwen (van een prototype) tegen allerlei problemen aan te lopen, zodat het ontwerp telkens moet worden aangepast. Uiteindelijk is het een goede zonnewijzer geworden, die we op het schoolplein kunnen zetten.

We hopen dat u plezier heeft gehad in het lezen van dit werkstuk, en misschien heeft u er nog wel iets van opgestoken ook. Misschien moet alles nog even bezinken, maar daar kunt u alle tijd voor nemen!

Bronnenlijst

Websites:

http://www.stuif.com/rel11.html

http://www.einsteingenootschap.nl/Vertaling%20%20Tweelingparadox.htm

http://www.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/jw/module4_twin_paradox.htm

http://les.canisius.nl/web/vakken/anw/anw%20website/uitvinding/relati.htm

http://www.nentjes.info/Tijd/tijd-b.htm#f

www.wikipedia.nl

http://www.precisionsundials.net/

http://www.sterrenkunde.nl/index/encyclopedie/tijdvereffening.html

http://www.kunstbus.nl/cultuur/equator.html

http://www.phys.uu.nl/~huygens/huygens_nl.htm

http://www.dbnl.org/tekst/rome002erfl01_01/rome002erfl01_01_0018.htm

http://www.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/jw/module4_twin_paradox.htm

http://www.nentjes.info/Tijd/index.htm

Boeken :

§ Einstein vertel eens - Jean Claude

§ Cosmologie, wetenschappelijke opstellen - A.E. Thierens

§ Quest juli 2009

§ Einstein: mijn theoriën

§ Het A B C van de ZONNEWIJZER , Algemene Beginselen en Constructies Door: ing. H. W. van der Wyck

§ Quest (januari 2009)

Overig:

§ Powerpointpresentatie “Tijd en klokken” - Kjeld Eikema

§ Powerpointpresentatie “De tweelingparadox” - Piet Mulders

LOGBOEK van Iris Niesten

Datum

Wat

Tijd

22-sep

Schrijven motivatie

1 uur

23-sep

Bespreken + wijzigen motivatie

1,5 uur

27-sep

Inleiding

1 uur

25-sep/3-okt

Inlezen relativiteit en tweelingparadox

8 uur

4-okt

Begin (speciale) relativiteitstheorie + informatie verzamelen

2 uur

6-okt

Informatie speciale relativiteitstheorie

1 uur

11-okt

Uitschrijven speciale relativiteitstheorie

3 uur

23-okt

theorie gammafactor

2 uur

24-okt

uitwerken gammafactor

2 uur

25-okt

deels uitwerken tweelingparadox

2,5 uur

21/22-nov

Voorbereiden masterclass

2,5 uur

27-nov

Masterclass

10 uur

29-nov

Masterclass “samenvatten”

1,5 uur

Kerstvakantie

Verdiepen tweelingparadox + uitleg aan de hand van presentatie

10 uur

23/24-jan

Inlezen zonnewijzer + Verzamelen extra literatuur tweelingparadox / samenvatten

6 uur

28-jan

uitschrijven tweelingparadox

3 uur

28/29-jan

Verdiepen zonnewijzer / ontwerp prototype

2,5 uur

30-jan

Begin (prototypen) zonnewijzer

4 uur

31-jan

Tweelingparadox

2 uur

6-feb

Inkopen materialen zonnewijzer

5 uur

7-feb

Berekenen + uittypen tweelingparadox

4,5 uur

9-feb

Discussie + verbeteren tweelingparadox

4 uur

10-feb

Herschrijven uiteindelijke tweelingparadox

5 uur

11-feb

In elkaar zetten / corrigeren uiteindelijk verslag + mailen TUdelft

4,5 uur

13-feb

Inkerven uur- en maandlijnen

5 uur

13-feb

Corrigeren

1 uur

14-feb

Corrigeren

0,5 uur

15-feb

Corrigeren

1,5 uur

16-feb

Corrigeren

0,5 uur

17-feb

Afronden / bespreken eindPWS

1 uur

17-feb

Schrijven nawoord

1 uur

TOTAAL

98 uur

Logboek van Noortje Dannenberg

Datum

Gedaan

Tijdsduur (uren)

14-sep

Inschrijven Masterclass Tijd

1

Mailen VU (Jos Kragtwijk)

Taken verdelen, opzet Pws

18-sep

Mail terug Vu

¾

Inleveren formulieren bij mentor + begleider

21-sep

Terug mailen VU (Jos Kragtwijk)

1 ½

Begin motivatie/inleiding

Begin indiepen theorie

22-sep

Indiepen theorie practica

½

23-sep

Motivatie

1

Schrijven werkplan, presentatieplan

25-sep

Inleveren cijfer Fase 1

½

5-okt

Verdelen theoretische onderwerpen

½

17-okt

Begin van inleiding Klokken, de zonnewijzer en de pre-index

4

22-okt

Theorie de waterklok, de Su Sung Klokkentoren en de zandloper

4

24-okt

Herschrijven van "Types op historische volgorde” van de klokken

7-nov

Theorie over het slingeruurwerk en het horloge

9-nov

Theorie de onrust

2

23-nov

Begin van de theorie van de atoomklok

1

25-nov

Doorbespreking stukjes,

1

Aanpassen relativiteits theorie stuk

Bepalen welke klok we maken

Korte theorie atoomklok en begin aan theorie kwarts kristal

27-nov

Masterclass Tijd

10

30-nov

PWS Fase twee afgerond

-

21-dec

Het orderen en duidelijker maken de informatie de zonnewijzer

1

23-dec

Veranderen tekst de onrust en horloge, verwerken meer informatie

4

4-jan

Begin van voorbereiden het maken van klokken

1

5-jan

Inleiding herschrijven maken klokken en zonnewijzer

1

19-jan

Begin Zonnewijzer: inleiding en stijl

1

20-jan

Zonnewijzer: Uurlijnen algemeen en veranderen informatie zonnewijzer

5

Lezen ABC van de Zonnewijzer

22-jan

Uurlijnen aangepast: tijdzone en onderzoeken tijd vereffening

3

25-jan

Zomertijd en herschrijven uurlijnen algemeen

27-jan

In elkaar zetten van pws en weghalen Su Sung Klokkentoren

28-jan

Overleg, inelkaar pws.


Prototype 1, algemene uurlijnen op vlakke equatoriale zonnewijzer

Begin Prototype 3A: rekenen voor de bouw.

30-jan

Uit testen prototype 1

6

Berekenen Tijd vereffening

Maken Prototype 2: extra check up uurlijnen + tijdvereffening

Helpen bij Prototype 3A

31-jan

Inlezen Declinatie + informatie zoeken

3

1-feb

Nakijken wat we hebben

1

Leraren vragen verduidelijking Declinatie

1

2-feb

Herschrijven na correctie van zonnewijzer, horloge en zandloper

4

Mooie schets maken voor verduidelijking hoek equatoriale zonnewijzer

3-feb

Herschrijven na correctie van slingeruurwerk en onrust

2⅙

4-feb

Beredeneren lengte schaduw door declinatie + maken schetsen

2⅚

Inscannen schetsen en verklaren hiervan.

5-feb

Informatie Keerkringen zoeken en invoegen

5

Zoeken manier voor berekenen hoeken van maanden

Bereken hoeken van de maanden via gevonden sinus van declinatie

6-feb

Bespreken eind model van metalen

6

Maken schetsen en boodschappen lijstje materialen

Bouwmarkten afzoeken geschikte materialen

Herbespreken model, kleine nieuwe takenverdeling en invoegen stukken

8- + 9-feb

Proto type Uurlijnen en Maandlijnen. (voorbereiden lijnen zetten op model)

5

11-feb

Herschrijven van de Atoomklok

13-feb

Maken halfjaar ring Januari-Juni

5

16-feb

Krassen Halfjaar ring Juli-December


Schrijven theorie van Kwartskristal

Atoomklok theorie afgerond

17-feb

Afronden/ bespreken eind pws

3

Theorie kwarts kristal afgemaakt


Totaal

105 1/12

Logboek van Wendy van Donge

Datum

Gedaan

Tijd

14-sep

mailen Jos Kragtwijk

50 minuten

taken verdelen, opzet Pws

21-sep

mailen Jos Kragtwijk

1uur en 20 minuten

opzoeken informatie Relativiteit , interiaalstelsel, ruimtetijd ect.

Beginnend stukje schrijven over Relativiteit

23-sep

Motivatie

1 uur en 30 minuten

25-sep

inleveren cijfer Fase 1

20 minuten

28-9-2010

Spreuk over tijd op zoeken

30 minuten

20-okt

Natuurkunde boeken kopen

2 uur

21-okt

Inlezen boek: Einstein vertel

2 uur en 40 minuten

25-okt

Informatie relativiteit ect op zoeken

2uur en 40 min

schrijven stuk relativiteit

1-nov

inlezen boek: Natuurkundige opstellen, inleiding schrijven

3 uur en 20 minuten

7-nov

Doornemen van brongegevens

50 minuten

8-nov

inlezen boek: Natuurkundige opstellen + Einstein vertel

3 uur

11-nov

opzoeken relativiteits theorie en paradoxen

1 uur 45 minuten

14-nov

op zoeken extra informatie over relativiteit,

45 miuten

ruimte tijd, interiaalstelsels

21-nov

Doorlezen bronnen, op zoeken extra informatie

50 minuten

schrijven stuk relativiteit

25-nov

Doorbespreking stukjes,

65 minuten

aanpassen relativiteits theorie stuk,

bepalen welke klok we maken

27-nov

Masterclass Tijd

10 uur

30-nov

Pws fase 2 afgerond

20 minuten

19-dec

schrijven relativiteit + spec. Relativiteits theorie

1uur en 50 minuten

23-dec

lezen boek einstein vertel,

1 uur en 30 minuten

natuurkundige opstellen + aantekeningen maken

29-dec

schrijven relativiteit + spec. Relativiteits theorie

1 uur en 10 min

2-jan

schrijven tijd algemeen

1 uur en 20 min

17-jan

schrijven tijd algemeen.

1 uur en 15 min

24-jan

schrijven speciale relativiteits theorie

3uur

27-jan

schrijven lorentztransformatie, in elkaar zetten van pws.

1 uur en 20 minuten

28-jan

in elkaarzetten pws, zonnewijzer rekenen en proefmodel maken.

2 uur en 20 minuten

30-jan

Proefmodel zonnewijzer maken, berekenen

5 uur

31-jan

schrijven lorentztransformatie/contractie/invariatie,

2 uur en 10 minuten

schrijven tijd in samenleving

4 uur en 40 min

bouwtekening maken ( op papier en op de computer),

aftekenen hout, zagen hout.

1-feb

Nakijken van wat we tot nu toe hebben,

1 uur

alles op logische volgorde zeggen

4-feb

Bedenken van lengte schaduw maanden,

2 uur en 50 min

opzoeken informatie gelijktijdigheid

6-feb

Bespreken model zonnewijzer, schetsen maken,

6 uur

naar de bouwmarkt matriaal halen

Herbespreken onderwerp, invoegen stuk in pws

7-feb

in elkaarzetten van Proef opstelling 4.

5 uur en 20 minuten

8-feb

schrijven gelijktijdigheid, schrijven maken van Prototype 3 + 4

2 uur en 30

9-feb

helpen bij maken van maandlijnen,

100 min

nakijken op spellings fouten, nakijken stukjes

10-feb

nakijken , evt veerbeteren stukje tweelingparadox

20 minuten

12-feb

regelen van platen

1uur

13-feb

uit elkaar halen van zonnewijzer, betekenen/krassen platen

4 uur

bewerken Pws, halen van ontvetter voor hout, verf/lak

15-feb

spuiten van model

2 uur

16-feb

inelkaarzetten van model

2,5 uur

nakijken van Huygens slinger uur,

100 minuten

17-feb

nakijken pws, afronden pws,

3 uur en 30 minuten

overgangsstukje inleiding tijd schrijven


totaal

92.7 uur

Writing Services

Essay Writing
Service

Find out how the very best essay writing service can help you accomplish more and achieve higher marks today.

Assignment Writing Service

From complicated assignments to tricky tasks, our experts can tackle virtually any question thrown at them.

Dissertation Writing Service

A dissertation (also known as a thesis or research project) is probably the most important piece of work for any student! From full dissertations to individual chapters, we’re on hand to support you.

Coursework Writing Service

Our expert qualified writers can help you get your coursework right first time, every time.

Dissertation Proposal Service

The first step to completing a dissertation is to create a proposal that talks about what you wish to do. Our experts can design suitable methodologies - perfect to help you get started with a dissertation.

Report Writing
Service

Reports for any audience. Perfectly structured, professionally written, and tailored to suit your exact requirements.

Essay Skeleton Answer Service

If you’re just looking for some help to get started on an essay, our outline service provides you with a perfect essay plan.

Marking & Proofreading Service

Not sure if your work is hitting the mark? Struggling to get feedback from your lecturer? Our premium marking service was created just for you - get the feedback you deserve now.

Exam Revision
Service

Exams can be one of the most stressful experiences you’ll ever have! Revision is key, and we’re here to help. With custom created revision notes and exam answers, you’ll never feel underprepared again.